- Nelle prime sei settimane
Dott. Carmelo Finocchiaro
Studio N. 200
Ricevimento Studenti: Lunedì ore 16-18
- Nella seconda parte del corso (ultime sei settimane)
Dott. Alfonso Pesiri
pesiri@mat.uniroma2.it
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I Settimana (20-25 Settembre)
22 Settembre: Un'introduzione storica alla Teoria degli Insiemi, dall'approccio "ingenuo" di Cantor a quello assiomatico di Zermelo-Fraenkel. Nozioni primitive, insiemi, assioma di esistenza dell'insieme vuoto, di estensionalità, di specificazione, definizione di unione e intersezione fra 2 insiemi, dell'insieme delle parti di un insieme dato. Esempi.
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II Settimana (27 Settembre - 1 Ottobre)
27 Settembre: Leggi di De Morgan in Teoria degli Insiemi e in Logica, applicazioni. Esercizi su uguaglianze fra insiemi. Definizione "ingenua" di insieme finito e di cardinalità di un insieme finito, applicazioni ed esempi. Calcolo proposizionale, tavole di verità, equivalenze logiche, negazione di proposizioni logiche. Esempi ed Esercizi.
29 Settembre: Definizione "ingenua" dell'insieme dei numeri razionali Q, definizione di somma e prodotto e relative proprietà. L'ordine di Q indotto da quello di Z.
Sottoinsiemi di Q limitati superiormente (inferiormente), maggioranti (minoranti), estremo superiore (estremo inferiore), esempi di sottoinsiemi di Q limitati superiormente e privi di estremo superiore (in Q). Definizione "ingenua" dell'insieme dei numeri reali R, costruito aggiungendo a Q gli estremi superiori di tutti i sottoinsiemi di Q che sono limitati superiormente. Esempi di numeri reali non razionali.
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III Settimana (4-8 Ottobre)
Induzione e induzione ampia, disuguaglianza di Bernoulli, numeri di Fibonacci e altri esempi di uso delle varie formulazioni del principio di induzione.
Riepilogo sul linguaggio della teoria degli insiemi (in vista della prova utile alla valutazione in itinere).
Coefficienti binomiali e loro prime proprietà.
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IV Settimana (11-15 Ottobre)
11 Ottobre: Algoritmo di Euclide per la determinazione di massimo comune divisore fra 2 numeri interi e relativa identità di Bezout. Esempi. Il problema della determinazione di tutte le identità di Bezout di un MCD e relazione con le equazioni diofatee. Caratterizzazione delle equazioni diofantee che ammettono soluzioni. Descrizione dello spazio delle soluzioni di una equazione diofantea lineare in 2 incognite. Esempi.
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V Settimana (18-22 Ottobre)
Esercizi di ricapitolazione sul Principio di induzione, il triangolo di Tartaglia, relazione fra i numeri di Fibonacci e il numero aureo, rappresentazione di numeri razionali in basi arbitrarie. Il postulato di Bertrand e sue conseguenze, problemi aperti sulla distribuzione dei numeri primi, applicazioni del Teorema Fondamentale dell'Aritmetica. Ogni numero intero positivo è somma di una famiglia finita di numeri di Fibonacci a due a due non consecutivi.
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VI Settimana (25-29 Ottobre)
22 Settembre: Un'introduzione storica alla Teoria degli Insiemi, dall'approccio "ingenuo" di Cantor a quello assiomatico di Zermelo-Fraenkel. Nozioni primitive, insiemi, assioma di esistenza dell'insieme vuoto, di estensionalità, di specificazione, definizione di unione e intersezione fra 2 insiemi, dell'insieme delle parti di un insieme dato. Esempi.
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II Settimana (27 Settembre - 1 Ottobre)
27 Settembre: Leggi di De Morgan in Teoria degli Insiemi e in Logica, applicazioni. Esercizi su uguaglianze fra insiemi. Definizione "ingenua" di insieme finito e di cardinalità di un insieme finito, applicazioni ed esempi. Calcolo proposizionale, tavole di verità, equivalenze logiche, negazione di proposizioni logiche. Esempi ed Esercizi.
29 Settembre: Definizione "ingenua" dell'insieme dei numeri razionali Q, definizione di somma e prodotto e relative proprietà. L'ordine di Q indotto da quello di Z.
Sottoinsiemi di Q limitati superiormente (inferiormente), maggioranti (minoranti), estremo superiore (estremo inferiore), esempi di sottoinsiemi di Q limitati superiormente e privi di estremo superiore (in Q). Definizione "ingenua" dell'insieme dei numeri reali R, costruito aggiungendo a Q gli estremi superiori di tutti i sottoinsiemi di Q che sono limitati superiormente. Esempi di numeri reali non razionali.
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III Settimana (4-8 Ottobre)
Induzione e induzione ampia, disuguaglianza di Bernoulli, numeri di Fibonacci e altri esempi di uso delle varie formulazioni del principio di induzione.
Riepilogo sul linguaggio della teoria degli insiemi (in vista della prova utile alla valutazione in itinere).
Coefficienti binomiali e loro prime proprietà.
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IV Settimana (11-15 Ottobre)
11 Ottobre: Algoritmo di Euclide per la determinazione di massimo comune divisore fra 2 numeri interi e relativa identità di Bezout. Esempi. Il problema della determinazione di tutte le identità di Bezout di un MCD e relazione con le equazioni diofatee. Caratterizzazione delle equazioni diofantee che ammettono soluzioni. Descrizione dello spazio delle soluzioni di una equazione diofantea lineare in 2 incognite. Esempi.
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V Settimana (18-22 Ottobre)
Esercizi di ricapitolazione sul Principio di induzione, il triangolo di Tartaglia, relazione fra i numeri di Fibonacci e il numero aureo, rappresentazione di numeri razionali in basi arbitrarie. Il postulato di Bertrand e sue conseguenze, problemi aperti sulla distribuzione dei numeri primi, applicazioni del Teorema Fondamentale dell'Aritmetica. Ogni numero intero positivo è somma di una famiglia finita di numeri di Fibonacci a due a due non consecutivi.
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VI Settimana (25-29 Ottobre)
Partizioni, relazioni di equivalenza e calcolo di insiemi quoziente, relazione di equivalenza generata da una data relazione, la retta proiettiva reale.
Esercizi di ricapitolazione in vista della prima prova in itinere.
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VII Settimana (8-12 Novembre)
Problematiche ed esercizi sulle congruenze.
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VIII Settimana (15-19 Novembre)
Calcolo dell'inverso moltiplicativo di un intero a (mod n) per mezzo dell'identità di Bézout; risoluzione della congruenza aX 
b (mod n); dimostrazione della proprietà "ac bc (mod n) implica a c (mod n/d), con d := MCD(c, n)"; risoluzione di sistemi di congruenze con il metodo di sostituzione ed alcune applicazioni alla divisibilità. Metodo dei quadrati successivi, dimostrazione del teorema di Eulero-Fermat.
b (mod n); dimostrazione della proprietà "ac bc (mod n) implica a c (mod n/d), con d := MCD(c, n)"; risoluzione di sistemi di congruenze con il metodo di sostituzione ed alcune applicazioni alla divisibilità. Metodo dei quadrati successivi, dimostrazione del teorema di Eulero-Fermat.________________________________
IX Settimana (22-26 Novembre)
Applicazione del teorema di Eulero-Fermat al calcolo di potenze modulo n, funzione phi di Eulero e sue prime proprietà (con dimostrazione).
Funzioni suriettive ed iniettive, biezioni tra insiemi discreti finiti ed infiniti. Esempi ed esercizi.
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X Settimana (29 Novembre - 2 Dicembre)
Potenza del numerabile, potenza del continuo: esempi ed esercizi. Enunciato dell'ipotesi del continuo.
Proprietà degli zeri di un polinomio in Z[X]. Teorema di Ruffini con dimostrazione. esercizi.
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XI Settimana (4-9 Dicembre)
Divisione con resto tra polinomi in Z[x]. Esempi ed esercizi sull'irriducibilità per polinomi monici in Z[X] di grado 2, 3, 4.
Questioni di irriducibilità in Z[X], Q[X], R[X] e C[X], esempi ed esercizi. Algoritmo euclideo delle divisioni successive e MCD tra polinomi.
Primi esempi di gruppi in notazione additiva e moltiplicativa; ordine di un elemento e gruppi ciclici.
Funzioni suriettive ed iniettive, biezioni tra insiemi discreti finiti ed infiniti. Esempi ed esercizi.
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X Settimana (29 Novembre - 2 Dicembre)
Potenza del numerabile, potenza del continuo: esempi ed esercizi. Enunciato dell'ipotesi del continuo.
Proprietà degli zeri di un polinomio in Z[X]. Teorema di Ruffini con dimostrazione. esercizi.
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Divisione con resto tra polinomi in Z[x]. Esempi ed esercizi sull'irriducibilità per polinomi monici in Z[X] di grado 2, 3, 4.
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XII Settimana (13-16 Dicembre)
Questioni di irriducibilità in Z[X], Q[X], R[X] e C[X], esempi ed esercizi. Algoritmo euclideo delle divisioni successive e MCD tra polinomi.
Primi esempi di gruppi in notazione additiva e moltiplicativa; ordine di un elemento e gruppi ciclici.
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XIII Settimana (20-23 Dicembre)
Gruppi di permutazioni (D_3, gruppo di Klein); gruppi di matrici (GL_2(Z_2), GL_2(R)). Definizione di isomorfismo tra gruppi; gruppi quoziente; calcolo del MCD tra polinomi.
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Alcune ..... pseudo-dimostrazioni
(trovare gli errori)
Il quadratino .... perduto
64 = 65 ??
